たわみの微分方程式の導出

$\frac{d^2v}{dx^2}=-\frac{M}{EI}$

上図から

$ds=-ρdθ$ より $\frac{1}{ρ}=-\frac{dθ}{ds}$

下図から

$\tanθ=\frac{dv}{dx}$

両辺をxで微分して

$\frac{1}{(cosθ)^2}\frac{dθ}{dx}=\frac{d^2v}{dx^2}$

$\frac{dθ}{dx}=\frac{1}{1+(\tanθ)^2}\frac{d^2v}{dx^2}=\frac{1}{1+(\frac{dv}{dx})^2}\frac{d^2v}{dx^2}$

下図から

$\frac{dx}{ds}=\cosθ=\frac{\pm1}{\sqrt{1+(\frac{dv}{dx})^2}}$

$\frac{1}{ρ}=-\frac{dθ}{ds}= -\frac{dθ}{dx} \frac{dx}{ds}=\frac{\mp1}{\lbrace1+(\frac{dv}{dx})^2\rbrace^{\frac{3}{2}}}\frac{d^2v}{dx^2}$

たわみ角*2について $|\frac{dv}{dx}|≪1$ であり(微小変位の仮定)

$\frac{1}{ρ}=\frac{M}{EI}$ より

$\frac{d^2v}{dx^2}=\mp\frac{M}{EI}$

曲げモーメントの正は梁の下側が引っ張りのときと定義される上、このときxの増加とともにたわみ角が減少するので、上式の右辺はマイナスになる。

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図1 たわみの微分方程式の導出

参考文献

内山久雄. 佐伯昌之. ゼロから学ぶ土木の基本　構造力学. オーム社. 2020

*1:変形前のはりの中心軸から、変形後の、はりの中心軸の変位

*2:たわみ曲線の接線と変形前のはりの中心軸とのなす角