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極座標・極方程式便覧

WIP

(α)直線

・極 $O$ を通り始線となす角が $\theta_0$ の直線の極方程式
$\theta=\theta_0$
・極 $O$ を通らない直線 $l$ に極から下ろした垂線の足 $H$ の極座標を $(p, α)$ とすると， $l$ の方程式は
$r\cos(\theta-α)=p$

(β)円

・極 $O$ を中心とする半径 $r_0$ の円の極方程式
$r=r_0$
・中心 $A(a, α)$ で極 $O$ を通る円の方程式
$r=2a\cos(\theta-α)$

(γ)二次曲線

$r=\frac{ae}{1+e\cos\theta}$
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(δ)正葉曲線

$r=a\sin\theta (a>0)$

(ε)アルキメデスの螺旋

$r=a\theta (a>0)$

(ζ)等角螺旋(対数螺旋，ベルヌーイの螺旋)

$r=ae^{b\theta} (a>0)$
等角螺旋上の点 $P$ における接線と線分 $OP$ のなす角は一定
アンモナイトの殻など
ピッチ10の等角螺旋

対数螺旋を初めて数学的に考察したのは、解析幾何学の祖、ルネ・デカルトである。螺旋の進行方向が中心に対して常に一定の角であることに注目し、この螺旋を等角螺旋と呼んだ

(η)リマソンとカージオイド

$r=a+b\cos\theta (a>0, b>0)$ で表される曲線をリマソンと呼び，特に $a=b$ のときカージオイドという。

(θ)レムニスケート

$r^2=2a^2\cos2\theta$
レムニスケートは，2定点 $A(-a,0), B(a,0)$ からの距離の積が $a^2$ に等しい点の軌跡
カッシーニの卵形線の一部
ループ1つで囲まれる面積は $a^2$
2定点からの距離が $m:n(m\neq n)$ の点の軌跡はアポロニウスの円でありこれと一緒に覚える。