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等速円運動のv=rωとa=rω^2の導出

物理力学高校数学パラメータ表示

等速円運動する質点の速度と加速度

①速度

速さ(速度の大きさ): $v=rω$

向き: 円の接線方向

②加速度

加速度の大きさ: $a=rω^2$

向き: 円の中心に向かう向き

数Ⅲの教科書で媒介変数表示を扱うと、等速円運動する質点の速さと加速度の大きさ、速度ベクトルと加速度ベクトルが直交することを確認することができます。実際、以下は教科書の例題と問の内容です。実は青チャートにも載っています。

時刻 $0$ に $点(1, 0)$ を出発し原点 $O$ を中心とする半径 $r$ の円周上を各速度 $ω$ で回転する時刻 $t$ の質点の位置を $(x, y)$ とする。

$\begin{cases} x=r\cosωt\\y=r\sinωt \end{cases}$

$\frac{dx}{dt}=-rω\sinωt$

$\frac{dy}{dt}=rω\cosωt$

速さは

$|\overrightarrow{v}|=\sqrt{(-rω\sinωt)^2+(rω\cosωt)^2}=rω$

$\frac{d^2x}{dt^2}=-rω^2\cosωt$

$\frac{d^2y}{dt^2}=-rω^2\sinωt$

加速度の大きさは

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{(-rω^2\cosωt)^2+(-rω^2\cosωt)^2}=rω^2$

また、速度ベクトルと加速度ベクトルの内積は

$\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{a}\\=r^{2}ω^{3}\sinωt\cosωt-r^{2}ω^{3}\sinωt\cosωt\\=0$

$|\overrightarrow{v}|\neq 0, |\overrightarrow{a}|\neq 0$ より $\overrightarrow{v}\perp\overrightarrow{a}$

質点の等速円運動においては速度ベクトルと加速度ベクトルは直交する。

コメント

・円運動では $T$ は周期として使われるため張力は $S$ と置くのが良いとされています。

チャート式基礎からの数学3

チャート式基礎からの数学3

数研出版