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ベルヌーイの定理の導出　オイラーの運動方程式使用ver.

自主学習水理学

オイラーの運動方程式

$\frac{D\overrightarrow{v}}{Dt}=-\frac{1}{ρ}\overrightarrow{\nabla}p-\overrightarrow{g}$

$\overrightarrow{v}=(v_x, v_y, v_z)=(u, v, w)$ として成分表示すると下になる。

$x$ 軸:　 $\frac{Du}{Dt}=\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}=-\frac{1}{ρ}\frac{\partial p}{\partial x}$

$y$ 軸:　 $\frac{Du}{Dt}=\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z}=-\frac{1}{ρ}\frac{\partial p}{\partial y}$

$z$ 軸:　 $\frac{Dw}{Dt}=\frac{\partial w}{\partial t}+u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}=-g-\frac{1}{ρ}\frac{\partial p}{\partial z}$

ベルヌーイの定理は，流れ場の一部分を流管とし， $dt$ 間の流管の移動に伴ったエネルギー保存の式を立て，流管を狭めることで導くことができるが，オイラーの運動方程式を積分することでも導くことができる。ただし，定常流れ*1であり， $z$ 方向のみの一次元場という条件を設定する。

定常流れかつ $z$ 方向のみの一次元場という条件から

$w\frac{\partial w}{\partial z}=-g-\frac{1}{ρ}\frac{\partial p}{\partial z}$

$\frac{\partial w^2}{\partial z}=\frac{\partial w^2}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial z}=2w\frac{\partial w}{\partial z}$

より $w\frac{\partial w}{\partial z}=\frac{1}{2}\frac{\partial w^2}{\partial z}$ *2

$\frac{1}{2}\frac{\partial w^2}{\partial z}= -g-\frac{1}{ρ}\frac{\partial p}{\partial z}$

定常流れかつ $z$ 軸のみの一次元場であるため， $p, w$ は $z$ のみの関数であり偏微分を常微分に直す。

$\frac{1}{2}\frac{dw^2}{dz}= -g-\frac{1}{ρ}\frac{dp}{dz}$

両辺を $z$ について積分する。

$\int_{w_1}^{w_2}\frac{1}{2}\frac{dw^2}{dz}dz=-\int_{z_1}^{z_2}gdz-\frac{1}{ρ}\int_{p_1}^{p_2}\frac{dp}{dz}dz$

$\frac{(w_1)^2}{2g}+\frac{p_1}{ρg}+z_1= \frac{(w_2)^2}{2g}+\frac{p_2}{ρg}+z_2$

なお他の教科書では静止流体の力学が終盤に配置されており，静水圧の式もオイラーの運動方程式から導かれている。

参考文献

二瓶康雄. 宮本仁志. 横山勝英. 仲吉信人. 土木の基礎固め　水理学. KS理工学専門書. 2020

*1:教科書では各点の流れの状態(流速や水深など)が時間的に変化しない流れ

*2:こういう天下り的な式変形は好きです。