オイラーの多面体定理はいつ使うの？Part1

【オイラーの多面体定理】
凸多面体*1で，辺(edge)の数を, 頂点(vertex)の数を, 面(face)の数をとすると，が成立する。

「線は帳面に引け」で覚えるこの定理は，コラム的に事実だけ紹介されるという印象が強く，証明法の他，使いどきはあるのか？と気になります。

当然，正多面体の頂点や辺の数を求める際に使えそうですが，結局どちらかを求める際に使うやり方(面を切り離す)でどちらも求められるので，使いようがありません。なお，面の数は，正二十面体なら20個とすぐに求まりますよね。

【正多面体の頂点・辺の数え方】

面を全て切り離す。

⇒その状態で，頂点や辺の数がいくつあるか数える。
12個の正五角形から構成される正十二面体なら，頂点も辺も，正五角形1つあたり5個で正五角形が12個あるから，60個。

⇒面をまた接着させたとき，頂点や辺がいくつダブるか，その数で割る。
正十二面体なら，頂点に関して，切り離されていた正五角形同士の3つの頂点が1つに合体されるので，先程求めた60を3で割り，20個。辺に関して，正五角形の2つの辺が1つに合体されるので，先程求めた60を2で割り，30個。

正十二面体は，面が12個，頂点が20個，辺が30個であると数えられました。オイラーの多面体定理を満たしています。

さて，ここで本題に戻って，オイラーの多面体定理の使い道ですが，正多面体に関して，仲間はずれとも言えた面の数を数える際に武器になります。オイラーの多面体定理が証明された後，正多面体が5種類しかないことを示す高校数学の教科書の証明で，使うのです。

*1:多面体のうち，どの2頂点を結んだ線分も多面体内に含まれるもの