ナポレオンのことを知ろう

ナポレオンの定理

任意の三角形に対し各辺を $1$ 辺とする正三角形を描き，これら $3$ つの正三角形の重心同士を結んだとき，この三角形は正三角形となる。

今回は $3$ つの正三角形をもとの三角形の外側に描く場合についてのみ考えます。図は Wikipedia の図と同じになるようにしました。エンターテイメント性がない上教育的でありませんが，愚直にやって示せて嬉しく公開します。他の証明法はインターネットで調べてください。※図形問題の五大解法は，初等幾何，図形と方程式，三角関数，ベクトル，複素数と言われていますが複素数を使っても解くことができます。

三角形の $3$ つの頂点を $xy$ 平面上の原点 $A$ ， $x$ 軸上の $x$ 座標が正の点 $B(a, 0)，x$ 座標と $y$ 座標が正の点 $C(b, c)$ とする。辺 $BC$ ，辺 $CA$ ，辺 $AB$ の対角をそれぞれ点 $X$ , 点 $Y$ , 点 $Z$ とする。 $△BCX$ , $△CAY$ , $△ABZ$ の重心をそれぞれ点 $L$ , 点 $M$ , 点 $N$ とする。点 $X$ , 点 $Y$ , 点 $Z$ から中線を引き対辺との交点をそれぞれ点 $P$ , 点 $Q$ , 点 $R$ とする。

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図1 ナポレオンの定理の証明

三平方の定理から

$BC=\sqrt{(a−b)^2+c^2}, CA=\sqrt{b^2+c^2}$

三角形の重心は中線を $2:1$ に内分するので

$LP=\frac{\sqrt{3}BC}{6}=\frac{\sqrt{3((a−b)^2+c^2)}}{6}$

$MQ=\frac{\sqrt{3}CA}{6}=\frac{\sqrt{3(b^2+c^2)}}{6}$

$NR=\frac{\sqrt{3}AB}{6}=\frac{\sqrt{3}a}{6}$

$P(b+\frac{a−b}{2}, \frac{c}{2}), Q(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}), R(\frac{a}{2}, 0)$

$θ_1=\angle ABC, θ_2=\angle BAC$ として点 $P$ を通り $x$ 軸に平行な直線と点 $Q$ を通り $x$ 軸に平行な直線を引くことで

$L(b+\frac{a−b}{2}+\frac{\sqrt{3((a−b)^2+c^2)}}{6}\sinθ_1, \frac{c}{2}+\frac{\sqrt{3((a−b)^2+c^2)}}{6}\cosθ_1)$

$M(\frac{b}{2}−\frac{\sqrt{3(b^2+c^2)}}{6}\sinθ_2, \frac{c}{2}+\frac{\sqrt{3(b^2+c^2)}}{6}\cosθ_2)$ と表せる。

$\sinθ_1=\frac{c}{\sqrt{(a−b)^2+c^2}}, \cosθ_1=\frac{a−b}{\sqrt{(a−b)^2+c^2}}\\\sinθ_2=\frac{c}{\sqrt{b^2+c^2}}, \cosθ_2=\frac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}$

$L(\frac{a+b}{2}+\frac{\sqrt{3}c}{6}, \frac{c}{2}+\frac{\sqrt{3}(a−b)}{6})，M(\frac{b}{2}−\frac{\sqrt{3}c}{6}, \frac{c}{2}+\frac{\sqrt{3}b}{6})$

また， $N(\frac{a}{2}, −\frac{\sqrt{3}a}{6})$

$LM^2=(\frac{a}{2}+\frac{\sqrt{3}c}{3})^2+(\frac{\sqrt{3}a}{6}−\frac{\sqrt{3}b}{3})^2\\=\frac{a^2}{3}+\frac{b^2}{3}+\frac{c^2}{3}−\frac{ab}{3}+\frac{\sqrt{3}ca}{3}$

$MN^2=(\frac{a}{2}−\frac{b}{2}+\frac{\sqrt{3}c}{6})^2+(\frac{c}{2}+\frac{\sqrt{3}b}{6}+\frac{\sqrt{3}a}{6})^2\\=\frac{a^2}{3}+\frac{b^2}{3}+\frac{c^2}{3}−\frac{ab}{3}+\frac{\sqrt{3}ca}{3}$

$NL^2=(\frac{b}{2}+\frac{\sqrt{3}c}{6})^2+(\frac{c}{2}−\frac{\sqrt{3}b}{6}+\frac{\sqrt{3}a}{3})^2\\=\frac{a^2}{3}+\frac{b^2}{3}+\frac{c^2}{3}−\frac{ab}{3}+\frac{\sqrt{3}ca}{3}$

$LM=MN=NL$ であり $△LMN$ は正三角形である。