量子力学1 - ryo

今回は $\hat{H}\psi=E\psi$ の導入まで

エネルギー $E$ と運動量 $p$ を持つ粒子を角振動数 $ω$ と波数 $k$ で表される波として表す。

粒子性　 $E=hν=\hbar ω \tag{4.1}$
波動性　 $p=\frac{h}{λ}=\hbar k \tag{4.2}$
$h$ はプランク定数、 $\hbar$ はディラック定数

$x$ 方向に伝わる $ω$ と $k$ を持つ平面波 $\Psi$ は振幅 $A$ として
$\Psi(x, t)=Ae^{i(kx-ωt)}=Ae^{\frac{i(px- Et)}{\hbar}} \tag{4.3}$
と書ける。*1

これを解に持つ方程式を導出するために次の2つの偏微分を使う。
$\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x, t)=-i\frac{E}{\hbar}\Psi(x, t) \tag{4.4}$
$\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x, t)=-\frac{p^2}{\hbar^2}\Psi(x, t) \tag{4.5}$

外力を受けずに運動する自由粒子の運動エネルギーは
$\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2m}p^2=E \tag{4.6}$

$(4.4)(4.5)$ を $\Psi(x, t)$ の形にして等号で結ぶと
自由粒子の波動方程式
$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x, t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x, t) \tag{4.7}$

$\frac{1}{2m}p^2=E \Leftrightarrow \frac{1}{2m}p^2=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x, t) \tag{4.8}$

$E, p$ を
$E \rightarrow i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \tag{4.9}$
$p \rightarrow -i\hbar\frac{\partial}{\partial x} \tag{4.10}$
と置き換える。

ポテンシャル $V(x)$ 中を運動する粒子の場合、エネルギー保存則は運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和なので
$\frac{1}{2m}p^2+V=E \tag{4.11}$

非定常状態(時間を含む)における1次元シュレーディンガー方程式
$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x, t)+V(x)\Psi(x, t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x, t) \tag{4.12}$

上式の左辺で波動関数 $\Psi$ を除いた部分を
$\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x) \tag{4.13}$ とすると
$\hat{H}\Psi= i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi \tag{4.14}$

運動量ベクトルを $\boldsymbol{p}=(p_x, p_y, p_z)$
とするとエネルギー保存則は
$\frac{1}{2m}(p_x^2+p_y^2+p_z^2)+V(x, y, z)=E \tag{4.15}$

$p_x \rightarrow -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$ , $p_y \rightarrow -i\hbar\frac{\partial}{\partial y}$ , $p_z \rightarrow -i\hbar\frac{\partial}{\partial z}$
となるので
$(4.15)$ に代入し波動関数 $\Psi(x, y, z, t)$ を作用させると
時間を含む3次元シュレーディンガー方程式
$-\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})\Psi(x, y, z, t)+V(x, y, z)\Psi(x, y, z, t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x, y, z, t) \tag{4.16}$

波動関数 $\Psi$ を空間座標 $x, y, z$ に依存する波動関数 $\psi(x, y, z)$ と時間 $t$ の関数に分離する。
$\Psi(x, y, z, t)=\psi(x, y, z)e^{\frac{-iEt}{\hbar}} \tag{4.17}$
定常状態(時間を含まない)における3次元シュレーディンガー方程式
$-\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})\psi(x, y, z)+V(x, y, z)\psi(x, y, z)=E\psi(x, y, z) \tag{4.18}$

ハミルトニアンは
$\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})+V(x, y, z) \tag{4.19}$
となるので $(4.18)$ は
$\hat{H}\psi=E\psi \tag{4.20}$
と書ける。

伊東正人(2022)『量子力学がわかる』(技術評論社), 第4章

*1:高校物理で扱う $t$ 秒後の波の高さを表す式をオイラーの式 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ を使って複素数表示にしたもの。また， $\Psi$ (プサイ)は波束の変位