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x^nとx^r（nは整数、rは有理数）の導関数の導出

数学高校数学

A $n$ が正の整数のとき， $\frac{d}{dx}x^n =nx^{n-1}$

B $n$ が整数のとき， $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$

C $r$ が有理数のとき, $\frac{d}{dx}x^r=rx^{n-1}$

A→B→Cの順に示します。Aの証明の4行目において $x^n$ が残っているのは誤りです。Aは数学的帰納法で示すこともできます。Bでどの道商の微分が必要なのですが，その場合，商の微分の公式が導かれている必要があります。

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図1 A, Bの証明

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図2 Cの証明