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微分積分学の第二基本定理の導出

数学大学数学自主学習

微分積分学の第二基本定理を導きます。

微分積分学の第二基本定理

$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

(1)ある区間でつねに $f’(x)=0$ ならば， $f(x)=c \quad (cは定数)$

その区間内に $2$ 点 $x_1＜x_2$ をとると，平均値の定理 *1により

$f(x_2)=f(x_1)+f’(c)(x_2-x_1)$ 　( $x_1＜c＜x_2$ )

仮定により $f’(c)=0$

よって $f(x_2)=f(x_1)$

ここで $x_1, x_2$ は任意なので $f(x)$ は定数　(証明終わり)

(2)ある区間でつねに $f’(x)=g’(x)$ ならば， $f(x)-g(x)=c$ 　( $c$ は定数)

証明は定理(1)を $f(x)-g(x)$ に適用する

(3)関数 $f(x)$ に対して $F’(x)=f(x)$ をみたす関数 $F(x)$ を $f(x)$ の原始関数という。

$F(x)$ を $f(x)$ の $1$ つの原始関数とすると， $f(x)$ のすべての原始関数は次の形で表される：

$F(x)+C \quad (Cは任意定数)$

証明　 $f(x)$ の任意の原始関数を $G(x)$ とすると， $G’(x)=F’(x)=f(x)$ であるから(2)より

$G(x)-F(x)=C$

$G(x)=F(x)+C$

逆に， $C$ が定数ならば $F(x)+C$ は $f(x)$ の原始関数　(証明終わり)

(4)積分の平均値の定理

関数 $f(x)$ が区間 $[a, b$ ] で連続ならば，

$\int_{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b−a)$ $(a＜c＜b)$

をみたす $c$ が存在

証明　区間 $[a, b$ ]における $f(x)$ の最大値を $M$ , 最小値を $m$ とすると， $[a, b$ ]で $m ≦ f(x) ≦ M$

定積分の基本性質より

$m(b−a) ≦ \int_{a}^{b}f(x)dx ≦ M(b−a)$

$m ≦ \frac{1}{b−a}\int_{a}^{b}f(x)dx ≦ M$

中間値の定理*2により，

$f(c)=\frac{1}{b−a}\int_{a}^{b}f(x)dx \quad (a＜c＜b)$

をみたす $c$ が存在する。　(証明終わり)

(5) $f(x) が a$ を含む区間で連続ならば，その区間内で $x$ の関数 $\int_{a}^{x}f(t)dt$ は微分可能であって，

$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)$

証明　 $F(x)=\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt$ とおくと

定積分の基本性質より

$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\frac{1}{h}(\int_{a}^{x+h}f(t)dt - \int_{a}^{x}f(t)dt)\\=\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(t)dt$

ところで(4)の積分の平均値の定理より，次式をみたす $c$ が存在する：

$\int_{x}^{x+h}f(t)dt=f(c)h \quad (x＜c＜x+h)$

以上より

$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(c)$

$h→0$ のとき $c→x$ であり $f(x)$ は連続だから

$f(c)→f(x)$

ゆえに $F’(x)=f(x)$ 　(証明終わり)

(6) $a, b$ を含む区間で連続な関数 $f(x)$ の $1$ つの原始関数を $F(x)$ とすれば，

$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

証明　(4)より $\int_{a}^{b}f(x)dx$ も $f(x)$ の原始関数で(3)より

$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(x)+C$ ( $C$ は定数)

$x=a を代入すると C=−F(a)$

$\int_{a}^{x}f(x)dx=F(x)-F(a)$

$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ 　(証明終わり)

以下のサイトには裳華房の微分積分の教科書の一覧が載っています。

微分積分主要教科書一覧

参考文献

石原繁. 浅野重初. 理工系入門　微分積分学. 裳華房. 2021

*1:証明はロルの定理を用いる。ロルの定理の証明は最大値・最小値の定理を用いる。田島一郎『解析入門』が分かりやすいです。

*2:証明は区間縮小法の原理を用いる。数学オリンピック対策関連の本には載っています。