四面体便覧 - ryo

一般の四面体

各辺の中点を結ぶと平行四辺形ができる
四面体 $OABC$ の体積: 平行六面体の $\frac{1}{6}$ と考えることで $\dfrac{1}{6}\begin{vmatrix}\vec{OA} & \vec{OB} & \vec{OC}\end{vmatrix}$

(α)正四面体

$1$ 辺の長さを $a$ として
体積: $\frac{\sqrt{2}a^3}{12}$
外接球の半径: $R=\sqrt{\frac{3}{8}}a$
内接球の半径: $r=\frac{R}{3}=\frac{a}{\sqrt{24}}$
対称面で分断するか、体積が求まっていれば三角形の内接円の半径と同様に、正四面体を4つの三角錐に分割することで求められる。