行列Aの対角化

$n$ 次正方行列 $A$ の固有方程式(特性方程式) $f_A(λ)=0$ を立て，固有値(eigenvalue) $λ_i$ と重複度 $n_i$ を求める。重解をもたないときは $n_i=1$

$n$ 個の異なる固有値をもてば，Aは対角化可能である(対角化の十分条件をみたす)が，そうでないときは，以下に移る。

各 $λ$ に対する固有空間の次元(幾何的重複度) $\dim W_λ=n-\ \mathrm{rank}(A-λI)$ ( $n$ : 正方行列の次数)を求める。 $\dim W_{λ_i}=n_i$ は対角化の必要十分条件である。

各 $λ$ の固有ベクトル(固有空間の基底)を $(x_1, x_2), (y_1, y_2)$ と置いていき， $Ax=λx$ の $x$ に代入することで求める。

固有ベクトルを並べて変換行列 $P$ を作る。
$P^{-1}AP$ を求める。結果のみなら変換行列を求めなくとも分かる。

実対称行列: 成分が実数で転置しても変わらない行列

各固有ベクトルをグラム・シュミットの正規直交化法を用いて，正規直交化基底にする。
ただし，異なる固有値の固有ベクトルは既に直交化しているので正規化のみする。

正規直交化した固有ベクトルを並べて直交行列 $P$ を作る。
$P^{-1}AP$ を求める。