線形変換まで

正方行列(行と列の個数が等しい行列) $A$ に対して
$AX=I$ かつ $XA=I$
を満たす正方行列 $X$ が存在するとき， $A$ を正則行列という。
$A$ が正則行列のとき，一意的(“ただ1つしかない”の意)に定まる $X$ を $A$ の逆行列といい， $A^{-1}$ で表す( $A$ インバースと読む)。
$AA^{-1}=A^{-1}A=I$

$n$ 次正方行列 $A$ に対して以下が同値
(1) $A$ が正則
(2) $\mathrm{rank} A$
(3) $A$ の階段行列が単位行列 $I_n$
(4) $\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\neq0$

$A$ を $n$ 次正方行列とするとき， $n \times 2n$ 行列 $A, I$ に $A$ の階段行列 $B$ が得られるところまで行基本変形を行う。 $B= PA$ とすると $\begin{bmatrix}A, I\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}B, P\end{bmatrix}$
$B=I$ ならば， $A$ は正則で， $P=A^{-1}$
$B\neq I$ ならば， $A$ は正則でない。

逆転公式
$A$ が正則ならば
$A^{-1}=\frac{1}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}\tilde{A}$
逆転公式から
$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{vmatrix}d & -b\\-c & a\end{vmatrix}$

逆行列はNumpyライブラリを読み込みlinalg.invメソッドで求めることもできる。

$F$ が2次正方行列ならば
$F\begin{bmatrix}a & b \\c & d \\\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\y \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ax+by\\cx+dy\\\end{bmatrix}$
であるから行列 $F$ は平面上の点 $P(x, y)$ を点 $Q(ax+by, cx+dy)$ に移す。この写像を $F$ の定める線形変換といい， $F$ を線形変換の表現行列という。

村上正康, 佐藤恒雄, 野澤宗平, 稲葉尚志(2021)『教養の線形代数』(培風館)