多変数関数の1次近似の導出

$a, b, c$ で何回でも偏微分可能な3変数関数*1 $f(a, b, c)$ に対して、 $f_2=(a+Δa, b+Δb, c+Δc)$ *2を設ける。

$f_2$ を $(a, b, c)$ においてテイラー展開して、微少量が2つ以上かけ合わさっている項( $(Δa)^2$ や $ΔbΔc$ が含まれる項など)を $0$ と見なす。

$f_2=f(a+Δa, b+Δb, c+Δc)\\=f\\+(Δa\frac{\partial}{\partial a}+Δb\frac{\partial}{\partial b}+Δc\frac{\partial}{\partial c})f\\+\frac{1}{2!}(Δa\frac{\partial}{\partial a}+Δb\frac{\partial}{\partial b}+Δc\frac{\partial}{\partial c})^2 f\\+\cdots\\+\frac{1}{n!}(Δa\frac{\partial}{\partial a}+Δb\frac{\partial}{\partial b}+Δc\frac{\partial}{\partial c})^n f\\\simeq f+Δa\frac{\partial f}{\partial a}+Δb\frac{\partial f}{\partial b}+Δc\frac{\partial f}{\partial c}$

$f_3=f(a+Δa, b, c)$ の場合、以下になる。

$f_3=f(a+Δa, b, c)\\\simeq f+Δa\frac{\partial f}{\partial a}+0\times\frac{\partial f}{\partial b}+0\times\frac{\partial f}{\partial c}\\=f+Δa\frac{\partial f}{\partial a}$

実は、数Ⅲの教科書にも、それ以降の修学において汎用性があるためか、1変数関数の1次近似は載っています。

*1:3でなくとも話は変わらないが代表して3にしました。

*2:物理では、プライムが事象の後の変数を記すのに使われる(Wikipedia)ため、時刻tを含むとしたら下付き文字を添えるのではなくプライムを添えます。