ポアソンの法則の導出

高校の物理で登場するポアソンの法則の導出をしました。変数分離形は高校の理科でよく登場します。一次反応・二次反応の半減期など。

理想気体を断熱的にゆっくりと変化させる。具体的には，外圧とのつり合いを維持しながらピストンをゆっくり動かす。(準静的変化という)

このとき熱力学第1法則から

$0=dU+dW_{out}$

$0=nC_vdT+PdV$

※ $dU=nC_vdT$ は定積変化に限らず成立する

右辺第1項を $nRT$ , 第2項を $PV$ で割ると

$\frac{C_v}{R}\frac{dT}{T}+\frac{dV}{V}=0$

$\int \frac{dT}{T}=-\frac{R}{Cv}\int\frac{dV}{V}$

$\ln T=-\frac{R}{C_v}\ln V+C$ 　( $C$ は任意定数)

$\therefore TV^{\frac{R}{C_v}}=一定$

$T=\frac{PV}{nR}$ を代入して

$PV^{1+\frac{R}{C_v}}=一定$

比熱比 $\frac{C_p}{C_v}$ をマイヤーの関係を用いて変形する

※マイヤーの関係自体は単原子分子に限らず理想気体に対して成立

$γ=\frac{C_p}{C_v}=1+\frac{R}{C_v}$

以上から　 $PV^γ=一定$

単原子分子だと $γ=\frac{5}{3}$ ，二原子分子だと $γ=\frac{7}{5}$ である。

参考文献

山本義隆. 新・物理入門＜増補改訂版＞. 駿台文庫. 2019