オームの法則&金属の抵抗と抵抗率(物性値)の関係式の導出

中学校の理科では，普通オームの法則を暗記します。
一方，中学受験に向けて習う理科では，オームの法則に加え，電熱線(ニクロム *1線)の電気抵抗が，ニクロムの長さに比例し，断面積に反比例することも扱います。

そこで，今回は，形状を決めた，タングステンからできているフィラメントなどを除く，一般の金属に電圧をかけ，以下の2つを導きます。

②金属の抵抗値が長さに比例し断面積に反比例すること

断面積 $S(\mathrm{m^2})$ , 長さ $l(\mathrm{m})$ の金属中に電荷 $-e(\mathrm{C})$ の自由電子 *2が $1\mathrm{m^3}$ あたり $n$ 個ある状態を考える。

この金属の両端に電圧 $V(\mathrm{V})$ をかけると，金属内部に，向きが，正極から負極へ向かう向きへ，大きさが， $\dfrac{V}{l}(\mathrm{N/C})$ の一様な電場が生じ，それぞれの自由電子は大きさ $e\dfrac{V}{l}(\mathrm{N})$ の力を受ける。なおかつ，自由電子は速さ $v(\mathrm{m/s})$ に比例する抵抗力 $kv(\mathrm{N})$ も先程の力とは逆向きに受け，一定の速さで移動すると捉えられる。力のつり合いから $v=\dfrac{eV}{kl} \tag{1}$

ところで，電流 $I(\mathrm{A})$ とは，ある断面を $1$ 秒間に通過する電気量であるから， $I=enSv \tag{2}$

(2)に(1)を代入して， $V$ について解くと $V=\dfrac{kl}{e^2nS}I \tag{3}$
(3)は電圧と電流が比例することを表し，金属の抵抗値は長さに比例し，断面積に反比例することも表す。このような抵抗を直線抵抗または線形抵抗といい，フィラメントなどI-Vグラフが曲線(特性曲線)になる抵抗を非直線抵抗または非線形抵抗という。

*1:ニッケルとクロムの合金，もしくは，ニッケルとクロムに少量の鉄を加えた合金

*2:金属は金属原子が規則正しく並んだ結晶構造を成しており，電子は特定の原子内に属せず自由に動き回わることができる。