ジュールの法則の導出⇒電力⇒電力量

断面積 $S(\mathrm{m^2})$ , 長さ $l(\mathrm {m})$ の導線の両端に $V(\mathrm{V})$ の電圧をかける。自由電子が平均の速さ $v(\mathrm{m/s})$ で移動したとすれば， $t(\mathrm{s})$ 間の電子の平均移動距離は $vt(\mathrm{m})$ である。導体内の電場の強さ $E(\mathrm{V/m})$ は
$E=V/l \tag{1}$
であるから， $vt(\mathrm{m})$ 離れた2点間の電位差 $\Delta V(\mathrm{V})$ は
$\Delta V=\dfrac{V}{l}vt \tag{2}$
電子の電荷を $-e(\mathrm{C})$ とすると， $t(\mathrm{s})$ 間に電子が電場から得られるエネルギーは，
$e\Delta V=\dfrac{eVvt}{l} \tag{3}$
導体中の自由電子の密度を $n(\mathrm{個/m^3})$ とすると，導線中の自由電子の総数は $nSl(個)$ である。このすべての自由電子が上式のエネルギーを電場から得る。それを $Q(\mathrm{J})$ とすると
$Q=\dfrac{eVvt}{l}\times nSl=envSVt=IVt \tag{4}$
これがすべて導線中のイオンの熱振動に変換されるからジュール熱*1に等しい。