ryo

無限級数便覧

数学高校数学技術武装文献調査努力一辺倒

無限級数の和の一覧です。受験生時代に調べました。多くの場合、積分漸化式を用いて解きます。僕は，こういう努力一辺倒の問題が好きでした。

1.メルカトル級数(琉球大)

$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots=\log2$

自然数 $n$ に対して $I_n=\int_{0}^{1}\frac{x^n}{1+x}dx$ とする。

(1) $I_1$ を求める。また、 $I_n+I_{n+1}$ を $n$ で表す。

(2)不等式 $\frac{1}{2(n+1)}\leq\frac{1}{n+1}$ が成り立つことを示す。

(3) $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}=\log2$ が成り立つことを示す。

2.ライプニッツ級数(北大, 東工大)

$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots=\frac{π}{4}$

自然数 $n$ に対して $a_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\tan x)^{2n}dx$ とおく。

(1) $a_1$ を求める。

(2) $a_{n+1}$ を $a_n$ で表す。

(3) $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_n$ を求める。

(4) $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}=\frac{π}{4}$ を示す。

3.メルカトル級数の $\frac{1}{2}$ (名古屋大)

$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\cdots=\frac{\log2}{2}$

自然数 $n$ に対し、定積分 $I_n=\int_{0}^{1}\frac{x^n}{x^2+1}dx$ を考える。

(1) $I_n+I_{n+2}=\frac{1}{n+1}$ を示す。

(2) $0\leq I_{n+1}\leq I_n\leq\frac{1}{n+1}$ を示す。

(3) $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2n}=\frac{\log2}{2}$ を示す。

4.九州大

$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n}2^{n}}{n!}=-\frac{2}{1!}+\frac{2^2}{2!}-\frac{2^3}{3!}\cdots=\frac{1}{e^{2}}$

教科書の章末問題から抜粋

$\frac{n}{(n+1)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}$ を示すことで

無限級数 $\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\cdots$

の和が求まる。